נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה – f(x) = x + 2cos xחקירת פונקציות טריגונומטריות 571 · שיעור 14

חקירת פונקציות טריגונומטריות · שאלון 571

שיעור 14 – נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה – f(x) = x + 2cos x

פרק 2 – גזירה ומציאת נקודות קיצון

1נוסח השאלה

2סעיף א – הנגזרת

3סעיף ב – נקודות קיצון

4סעיף ג – תחומי עלייה וירידה

5סעיף ד – סקיצה

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = x + 2cos x בתחום 0 ≤ x ≤ 2π .

א. מצאו את f′(x) .

ב. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה בתחום הנתון, וקבעו את סוגן.

ג. מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה.

סעיף א – הנגזרת

גוזרים כל איבר בנפרד. הנגזרת של x היא 1:

(2cos x)′ = 2 · (−sin x) = −2sin x

📐 נגזרת של קוסינוס

f′(x) = 1 − 2sin x

✅ פתרון סופי: f′(x) = 1 − 2sin x

📐 נגזרת של קוסינוס

(cos x)′ = −sin x

סעיף ב – נקודות קיצון

בנקודת קיצון הנגזרת מתאפסת, ולכן משווים את הנגזרת ל־0:

1 − 2sin x = 0

📐 נקודת קיצון

−2sin x = −1

sin x = 12

הזווית שהסינוס שלה 12 היא π6 (כמו 30 מעלות). לפי הנוסחה יש שתי משפחות של פתרונות:

x = π6 + 2πk

📐 פתרון המשוואה sin x = sin a

📐 נקודת קיצון

בנקודת קיצון פנימית f′(x) = 0

📐 פתרון המשוואה sin x = sin a

x = a + 2πk
x = π − a + 2πk

סעיף ב – נקודות קיצון · המשך

x = π6 + 2πk

📐 פתרון המשוואה sin x = sin a

x = π − π6 + 2πk = 5π6 + 2πk

מחפשים פתרונות בתחום 0 ≤ x ≤ 2π . נציב k = 0 :

x = π6 , x = 5π6

עבור k = 1 מקבלים π6 + 2π – זה כבר גדול מ־2π , ולכן אין פתרונות נוספים בתחום.

קביעת סוג הנקודות – נסמן על ציר את הנקודות ואת קצות התחום, ונציב בנגזרת מספר מכל תחום:

📐 פתרון המשוואה sin x = sin a

x = a + 2πk
x = π − a + 2πk

סעיף ב – נקודות קיצון · המשך

קביעת סוג הנקודות – נסמן על ציר את הנקודות ואת קצות התחום, ונציב בנגזרת מספר מכל תחום:

f′(π12) = 1 − 2sin π12 ≈ 1 − 0.52 = 0.48 > 0

f′(π2) = 1 − 2sin π2 = 1 − 2 = −1 < 0

f′(π) = 1 − 2sin π = 1 − 0 = 1 > 0

שיעור ה־y של כל נקודה – מציבים בפונקציה עצמה. נכתוב את הפונקציה:

סעיף ב – נקודות קיצון · המשך

שיעור ה־y של כל נקודה – מציבים בפונקציה עצמה. נכתוב את הפונקציה:

f(x) = x + 2cos x

נציב x = π6 :

f(π6) = π6 + 2cos π6

cos π6 = √32

📐 ערך מיוחד

f(π6) = π6 + 2 · √32 = π6 + √3 ≈ 2.26

📐 ערך מיוחד

cos π6 = √32

סעיף ב – נקודות קיצון · המשך

f(π6) = π6 + 2 · √32 = π6 + √3 ≈ 2.26

נציב x = 5π6 :

f(5π6) = 5π6 + 2cos 5π6

cos 5π6 = −cos π6 = −√32

📐 זוויות שסכומן π

f(5π6) = 5π6 − √3 ≈ 0.89

נציב את קצות התחום x = 0 ו־x = 2π :

📐 זוויות שסכומן π

cos(π − x) = −cos x

סעיף ב – נקודות קיצון · המשך

נציב את קצות התחום x = 0 ו־x = 2π :

f(0) = 0 + 2cos 0 = 0 + 2 · 1 = 2

f(2π) = 2π + 2cos 2π = 2π + 2 ≈ 8.28

✅ פתרון סופי: מקסימום (π6 , π6 + √3) , מינימום (5π6 , 5π6 − √3) , מינימום קצה (0 , 2) , מקסימום קצה (2π , 2π + 2)

סעיף ג – תחומי עלייה וירידה

קוראים מהציר: איפה ש־f′(x) > 0 הפונקציה עולה, ואיפה ש־f′(x) < 0 היא יורדת.

עולה: 0 < x < π6 או 5π6 < x < 2π

📐 עלייה וירידה

יורדת: π6 < x < 5π6

✅ פתרון סופי: עולה: 0 < x < π6 , 5π6 < x < 2π ; יורדת: π6 < x < 5π6

📐 עלייה וירידה

f′(x) > 0 – הפונקציה עולה ↗
f′(x) < 0 – הפונקציה יורדת ↘

סעיף ד – סקיצה

מסמנים את ארבע הנקודות שמצאנו ומחברים לפי העלייה והירידה:

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

📌 סיכום התשובות

סעיף א

f′(x) = 1 − 2sin x

סעיף ב

מקס. (π6 , π6 + √3) , מינ. (5π6 , 5π6 − √3) , קצוות (0 , 2) , (2π , 2π + 2)

סעיף ג

עולה 0 < x < π6 , 5π6 < x < 2π ; יורדת π6 < x < 5π6

סעיף ד

סקיצה

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא